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アンテナチューナー
インピーダンスRの信号源とアンテナの間に入れる以下の構成のアンテナチューナーについて考える
+---L---+-----> antenna | | | | R VC | | | | +-------+-----> ground
アンテナ側から見たインピーダンスをZとすると \[ \frac{1}{Z} = \frac{1}{ R + j \omega L} + j \omega C \] これより、 \[ \frac{1}{Z} = \frac{1 + j \omega C (R + j \omega L) }{ R + j \omega L} \] だから \[ Z = \frac{ R + j \omega L}{1 + j \omega C (R + j \omega L) } \]
これを変形して
\[ Z = \frac{ R + j \omega L} {(1 - \omega^2 C L) + j \omega C R } \\ = \frac{ (R + j \omega L) \{(1 - \omega^2 C L) - j \omega C R \} } { \{(1 - \omega^2 C L) + j \omega C R \} \{(1 - \omega^2 C L) - j \omega C R \} } \\ \]
\[ Z = \frac{ R + j \omega L} {(1 - \omega^2 C L) + j \omega C R } \\ = \frac{ (R + j \omega L) \{(1 - \omega^2 C L) - j \omega C R \} } { \{(1 - \omega^2 C L) + j \omega C R \} \{(1 - \omega^2 C L) - j \omega C R \} } \\ \]
\[ Z = \frac{numerator}{denominator} \] とすると \[ numerator = (R + j \omega L) \{(1 - \omega^2 C L) - j \omega C R \} \\ = (R + j \omega L) \{(1 - \omega^2 C L) - j \omega C R \} \\ = R - \omega^2 R C L - j \omega C R^2 + j \omega L - j \omega^3 C L^2 + \omega^2 C R L \\ = R - j \omega C R^2 + j \omega L - j \omega^3 C L^2 \]
\[ denominator = (1 - \omega^2 C L)^2 + (\omega C R)^2 \\ = 1 - 2 \omega^2 C L + \omega^4 C^2 L^2 + \omega^2 C^2 R^2 \\ = 1 + \omega^2 C ( - 2 L + \omega^2 C L^2 + C R^2) \]
よって \[ Z = \frac{R + j \omega ( L - C R^2 - \omega^2 C L^2)}{ 1 + \omega^2 C ( \omega^2 C L^2 + C R^2 - 2 L) } \]
近似式
Lや2Lは他の項に比べて非常に小さいと思われるので、以下のように近似できる \[ Z \approx \frac{R - j \omega ( C R^2 + \omega^2 C L^2)}{ 1 + \omega^2 C ( \omega^2 C L^2 + C R^2 ) } = \frac{R - j \omega C (R^2 + \omega^2 L^2)}{ 1 + \omega^2 C^2 ( \omega^2 L^2 + R^2 ) } \]