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CLC-Π型のアンテナチューナー
インピーダンスRの信号源とアンテナの間に入れる以下の構成のアンテナチューナーについて考える
+-------+---L---o------+------> antenna | | | | | | R C1 <-Zs C2 | | | | | | +-------+-------o------+------> ground
RとC1の並列回路のインピーダンスをZpとすると \[ \frac{1}{Z_p} = \frac{1}{ R} + j \omega C_1 \\ = \frac{1 + j \omega C_1 R}{R} \] なので、
VC2の左側から信号源側を見たインピーダンスをZsとすると \[ Z_s = \frac{R}{ 1 + j \omega C_1 R} + j \omega L \] これより、 \[ Z_s = \frac{R + j \omega L ( 1 + j \omega C_1 R)}{ 1 + j \omega C_1 R} \\ = \frac{R - \omega^2 L C_1 R + j \omega L}{ 1 + j \omega C_1 R} \\ \]
これを変形して
\[ Z_s = \frac{(R - \omega^2 L C_1 R + j \omega L)(1 - j \omega C_1 R)} { (1 + j \omega C_1 R) (1 - j \omega C_1 R)} \]
ここで、 \[ Z = \frac{numerator}{denominator} \] とすると \[ numerator = (R - \omega^2 L C_1 R + j \omega L)(1 - j \omega C_1 R) \\ = (R - \omega^2 L C_1 R) - j \omega C_1 R (R - \omega^2 L C_1 R) + j \omega L -j \omega L j \omega C_1 R \\ = (R - \omega^2 L C_1 R + \omega^2 L C_1 R) - j \omega (C_1 R^2 - \omega^2 L C_1^2 R^2 + L) \\ = R - j \omega (C_1 R^2 - \omega^2 L C_1^2 R^2 + L) \]
\[ denominator = (1 + j \omega C_1 R) (1 - j \omega C_1 R) \\ = 1 + \omega^2 C_1^2 R^2 \]
よって \[ Z_s = \frac{R - j \omega (C_1 R^2 - \omega^2 L C_1^2 R^2 + L) } {1 + \omega^2 C_1^2 R^2} \]
Π型全体のインピーダンス
上より \[ Z_s = \frac{R - \omega^2 L C_1 R + j \omega L}{ 1 + j \omega C_1 R} \\ \] なので、 \[ \frac{1}{Z} = \frac{1}{Z_s} + j \omega C_2 \\ = \frac{ 1 + j \omega C_1 R}{(R - \omega^2 L C_1 R) + j \omega L} + j \omega C_2 \\ = \frac{ 1 + j \omega C_1 R + j \omega C_2 (R - \omega^2 L C_1 R + j \omega L)} {R - \omega^2 L C_1 R+ j \omega L} \\ = \frac{ 1 + j \omega R (C_1 + C_2 + \omega^2 L C_1 C_2) - \omega^2 C_2 L} {R - \omega^2 L C_1 R+ j \omega L} \\ \]
これより \[ Z = \frac{R - \omega^2 L C_1 R+ j \omega L} { 1 + j \omega R (C_1 + C_2 + \omega^2 L C_1 C_2) - \omega^2 C_2 L} \\ \]