インピーダンスRの信号源とアンテナの間に入れる以下の構成のアンテナチューナーについて考える

	+-------+---L---o------+------> antenna
	|	|              |
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	R       C1      <-Zs   C2
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	|       |              |
	+-------+-------o------+------> ground

VC2の左側から信号源側を見たインピーダンスをZsとすると \[ \frac{1}{Z_s} = \frac{1}{ R + \frac{1}{j \omega C_1}} + j \omega L \] これより、 \[ \frac{1}{Z_s} = \frac{j \omega C_1}{j \omega C_1 R + 1} + j \omega L \\ = \frac{j \omega C_1 + j \omega L (j \omega C_1 R + 1) }{j \omega C_1 R + 1} \\ = \frac{j \omega C_1 - \omega^2 L C_1 R + j \omega L }{j \omega C_1 R + 1} \\ \] よって

\[ Z_s = \frac{j \omega C_1 R + 1} {j \omega C_1 - \omega^2 L C_1 R + j \omega L }\\ = \frac{j \omega C_1 R + 1} {j \omega (C_1 + L ) - \omega^2 L C_1 R }\\ \]

\[ Z_s = \frac{(j \omega C_1 R + 1) ( j \omega (C_1 + L ) + \omega^2 L C_1 R ) } {(j \omega (C_1 + L ) - \omega^2 L C_1 R)( j \omega (C_1 + L ) + \omega^2 L C_1 R ) }\\ \]

ここで、 \[ Z = \frac{numerator}{denominator} \] とすると \[ numerator = (j \omega C_1 R + 1) ( j \omega (C_1 + L ) + \omega^2 L C_1 R ) \\ = j \omega C_1 R j \omega (C_1 + L ) + j \omega C_1 R \omega^2 L C_1 R + j \omega (C_1 + L ) + \omega^2 L C_1 R \\ = - \omega^2 C_1 R (C_1 + L ) + j \omega (\omega^2 L C_1^2 R^2 + C_1 + L ) \\ \]

\[ denominator = (j \omega (C_1 + L ) - \omega^2 L C_1 R)( j \omega (C_1 + L ) + \omega^2 L C_1 R ) \\ = - \omega^2 (C_1 + L )^2 - \omega^4 L^2 C_1^2 R^2 \]

よって \[ Z = \frac{\omega^2 C_1 R (C_1 + L ) - j \omega (\omega^2 L C_1^2 R^2 + C_1 + L )} {\omega^2 (C_1 + L )^2 + \omega^4 L^2 C_1^2 R^2 } \]