特性インピーダンスが$Z_i$の平行二線式線路と負荷抵抗の間に、特性インピーダンス$Z_0$の給電線を挿入すると、 接続点から、負荷側を見た場合のインピーダンス$Z_{ab}$は \[ Z_{zb} = Z_0 \frac{R cos(2 \pi l / \lambda) + j Z_0 sin(2 \pi l / \lambda)} {Z_0 cos(2 \pi l / \lambda) + j R sin(2 \pi l / \lambda)} \] となる。
この給電線を挿入して整合させる場合、$Z_i = Z_{ab}$とする必要があるので、 以下が成り立つ必要がある
\[ Z_i = Z_0 \frac{R cos(2 \pi l / \lambda) + j Z_0 sin(2 \pi l / \lambda)} {Z_0 cos (2 \pi l / \lambda) + j R sin(2 \pi l / \lambda)} \]
これを変形して、分子と分母に$ Z_0 cos(2 \pi l / \lambda) - j R sin(2 \pi l / \lambda)$ を掛けて、 \[ Z_i = Z_0 \frac{R^2 cos^2(2 \pi l / \lambda) + j R^2 sin(2 \pi l / \lambda) cos(2 \pi l / \lambda) + j Z_0^2 sin(2 \pi l / \lambda) cos(2 \pi l / \lambda) - Z_0^2 sin^2(2 \pi l / \lambda)} {Z_0^2 cos^2(2 \pi l / \lambda) + R^2 sin^2(2 \pi l / \lambda)} \\ = Z_0 \frac{R^2 cos^2(2 \pi l / \lambda) + j (R^2 + Z_0^2) sin(2 \pi l / \lambda) cos(2 \pi l / \lambda) - Z_0^2 sin^2(2 \pi l / \lambda)} {Z_0^2 cos^2(2 \pi l / \lambda) + R^2 sin^2(2 \pi l / \lambda)}\\ \]
整合が取れている場合は、位相がずれていてはならず、上記の式の虚数部は0とならなければならないので、
\[ sin(2 \pi l / \lambda) cos(2 \pi l / \lambda) = 0 \] であることが必要である。つまり、 $ sin(2 \pi l / \lambda) = 0 $ あるいは $cos(2 \pi l / \lambda) = 0 $ でなければならない。
$sin(2 \pi l / \lambda) = 0 $ であるとすると、 $cos(2 \pi l / \lambda) = 1$であるので、
\[ Z_i = Z_0 \frac{R cos(2 \pi l / \lambda) }{Z_0 cos (2 \pi l / \lambda)} = Z_0 \frac{R }{Z_0 } = R \] となるが、この解は題意にそぐわないので、答えではない
$sin(2 \pi l / \lambda) = 1 $ であるとすると、 $cos(2 \pi l / \lambda) = 0$であるので、
\[ Z_i = Z_0 \frac{ j Z_0 sin(2 \pi l / \lambda)}{ j R sin(2 \pi l / \lambda)} = Z_0 \frac{ Z_0 }{ R } \] これより \[ Z_0 = \sqrt{ Z_i R } \] (この式は覚えておくと良い)
なお、$sin(2 \pi l / \lambda) = 1 $ となるのは、$ 2 \pi l / \lambda = \frac{\pi}{4} $ の時なので、
\[ l = \frac{\pi}{4} \frac{\lambda}{2 \pi } = \frac{\lambda}{8} \] sin の値は、$\pi $ごとに0になるので、この値に、$\frac{\lambda}{2} $の整数倍を加えた値が $l$ に等しい時に整合が取れる
\[ Z_0 = 276 log_{10} \frac{2 D}{d} \] d: 導線の直径 D: 二導線間の距離
以下の問題は、「1/4波長整合回路の整合条件」 に分類されていたが、このカテゴリの問題なので、ここで扱う
以下の問題は、「平行二線式給電線-整合回路による整合」 に分類されていたが、このカテゴリの問題なので、ここで扱う