逆Lアンテナの実効長は、アンテナ内の電流分布を垂直部分のみ積分すれば良いので、 アンテナ基部の最大値電流を$ I_0 $ とすると、 \[ h I_0 = 垂直部の電流分布の積分値 \] となるので、 実効長 h は \[ h = \frac{1}{I_0} \int_{0}^{h_v} I_0 \cos(\frac{2 \pi}{\lambda}x) dx \]
※ cosの部分は、エレメント長が $\frac{\lambda}{4}$ の場合には、$x=\frac{\lambda}{4}$の時、 値が$\frac{\pi}{2}$となるように、$ \cos(\frac{2 \pi}{\lambda}x)$ とする
これを置換積分で解く
$ t =\frac{2 \pi}{\lambda}x $ とおいて、 \[ h = \int_{0}^{h_v} \cos(t) t^{\prime} \frac{dt}{tx} dx = \int_{0}^{\frac{2 \pi}{\lambda} h_v } \cos(t) \frac{2 \pi}{\lambda} dt = \frac{2 \pi}{\lambda} \sin(\frac{2 \pi}{\lambda} h_v ) \]