====== 平行２線式給電線：1/4波長整合給電線 ======
特性インピーダンスが$Z_i$の平行二線式線路と負荷抵抗の間に、特性インピーダンス$Z_0$の給電線を挿入すると、
接続点から、負荷側を見た場合のインピーダンス$Z_{ab}$は
\[
Z_{zb} = Z_0 \frac{R cos(2 \pi l / \lambda) + j Z_0 sin(2 \pi l / \lambda)}
{Z_0 cos(2 \pi l / \lambda) + j R sin(2 \pi l / \lambda)}
\]
となる。

この給電線を挿入して整合させる場合、$Z_i = Z_{ab}$とする必要があるので、
以下が成り立つ必要がある

\[
Z_i = Z_0 \frac{R cos(2 \pi l / \lambda) + j Z_0 sin(2 \pi l / \lambda)}
{Z_0 cos (2 \pi l / \lambda) + j R sin(2 \pi l / \lambda)}
\]

これを変形して、分子と分母に$ Z_0 cos(2 \pi l / \lambda) - j R sin(2 \pi l / \lambda)$
を掛けて、
\[
Z_i = Z_0 \frac{R^2 cos^2(2 \pi l / \lambda)
 + j R^2 sin(2 \pi l / \lambda) cos(2 \pi l / \lambda)
 + j Z_0^2 sin(2 \pi l / \lambda) cos(2 \pi l / \lambda)
 - Z_0^2 sin^2(2 \pi l / \lambda)}
{Z_0^2 cos^2(2 \pi l / \lambda) + R^2 sin^2(2 \pi l / \lambda)}
\\
= Z_0 \frac{R^2 cos^2(2 \pi l / \lambda)
 + j (R^2 + Z_0^2) sin(2 \pi l / \lambda) cos(2 \pi l / \lambda)
 - Z_0^2 sin^2(2 \pi l / \lambda)}
{Z_0^2 cos^2(2 \pi l / \lambda) + R^2 sin^2(2 \pi l / \lambda)}\\

\]

整合が取れている場合は、位相がずれていてはならず、上記の式の虚数部は0とならなければならないので、

\[
sin(2 \pi l / \lambda) cos(2 \pi l / \lambda) = 0
\]
であることが必要である。つまり、
$
sin(2 \pi l / \lambda) = 0 $ あるいは $cos(2 \pi l / \lambda) = 0
$
でなければならない。

$sin(2 \pi l / \lambda) = 0 $ であるとすると、 $cos(2 \pi l / \lambda) = 1$であるので、

\[
Z_i = Z_0 \frac{R cos(2 \pi l / \lambda) }{Z_0 cos (2 \pi l / \lambda)}
= Z_0 \frac{R  }{Z_0 }
= R
\]
となるが、この解は題意にそぐわないので、答えではない

$sin(2 \pi l / \lambda) = 1 $ であるとすると、 $cos(2 \pi l / \lambda) = 0$であるので、

\[
Z_i = Z_0 \frac{ j Z_0 sin(2 \pi l / \lambda)}{ j R sin(2 \pi l / \lambda)}
= Z_0 \frac{ Z_0 }{ R }
\]
これより
\[
Z_0 = \sqrt{ Z_i R }
\]
<color red>
(この式は覚えておくと良い)
</color>

なお、$sin(2 \pi l / \lambda) = 1 $ となるのは、$
2 \pi l / \lambda　= \frac{\pi}{4}
$ の時なので、

\[
l = \frac{\pi}{4} \frac{\lambda}{2 \pi } = \frac{\lambda}{8} 
\]
sin の値は、$\pi $ごとに0になるので、この値に、$\frac{\lambda}{2} $の整数倍を加えた値が $l$ に等しい時に整合が取れる

===== 平行二線式給電線の特性インピーダンス =====
\[
Z_0 = 276 log_{10} \frac{2 D}{d}
\]
d: 導線の直径
D: 二導線間の距離

===== 出題履歴 =====
  * H26/7 A7
  * H27/1 A9
  * H28/1 A8
  * H31/1 B1

以下の問題は、「[[cert_exam:tech_radio_op_1:b:freq:h-quarter_wave_matching_circuit|1/4波長整合回路の整合条件]]」
に分類されていたが、このカテゴリの問題なので、ここで扱う

  * H28/7 A9
  * H29/1 A8
  * H30/1 A8

以下の問題は、「[[cert_exam:tech_radio_op_1:b:freq:h-parallel_line_feeder_matching|平行二線式給電線-整合回路による整合]]」
に分類されていたが、このカテゴリの問題なので、ここで扱う
  * R1/7 A8